A ideia dos logaritmos é reverter a operação de exponenciação ,isto é, elevar um número a uma potência. A título de exemplo, a potência de três, ( ou ao cubo ³) de 2 é 8, porque 8 é o produto dos três fatores de 2
2³ = 2 x 2 x 2 = 8
Disso resulta que o logaritmo de 8 na base 2 é 3, ou seja : log2 8 = 3.
Definição
O logaritmo de um número positivo real x na base b, em que b é número positivo real diferente de 1, é o expoente pelo qual b deve ser elevado para se chegar a x. Em outras palavras, o logaritmo de x na base b é a solução de y na equação
b como base e y como expoente = x
O logaritmo é denotado logb(x) (pronunciado como o logaritmo de x na base b)
Exemplos :
log2 16 = 4
4 elevado a base 2 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
Os logaritmos também podem ser negativos
log2 (½) = -1
porque :
2 elevado a -1 = ½ elevado a 1 = ½
quinta-feira, 12 de novembro de 2015
segunda-feira, 9 de novembro de 2015
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DO LOGARITMO
Os logaritmos encontram aplicações em diversas áreas do conhecimento, como na Física, Engenharia, Geologia e outras. Muitas vezes os cálculos envolvendo logaritmo tornam-se muito complexos, por se tratar de sentenças que envolvem propriedades exponenciais. Para facilitar esses cálculos, além do uso de calculadoras, existem algumas propriedades operatórias.
Vejamos quais são essas propriedades e como utilizá-las.
Propriedade 1: Logaritmo do produto.
Vejamos quais são essas propriedades e como utilizá-las.
Propriedade 1: Logaritmo do produto.
Exemplo:
Propriedade 2: Logaritmo do quociente.
Exemplo:
Propriedade 3: Logaritmo de uma potência.
Exemplo:
Propriedade 4: Logaritmo de uma raiz.
Essa propriedade é uma extensão da propriedade 3, uma vez que toda raiz pode ser escrita na forma de uma potência.
Essa propriedade é uma extensão da propriedade 3, uma vez que toda raiz pode ser escrita na forma de uma potência.
Exemplo:
Propriedade 5: Propriedade da mudança de base.
Essa propriedade é utilizada quando o logaritmo a ser calculado apresenta uma base que torna os cálculos mais complexos, e ela nos permite escolher a base que seja mais conveniente, tornando os cálculos mais simples. A propriedade da mudança de base também é fundamental para a simplificação de expressões que envolvem logaritmos com bases diferentes.
Exemplo: Se desejarmos calcular o valor do seguinte logaritmo log5 11, nem com uso de uma calculadora científica seria possível, pois ela trabalha com logaritmos na base 10 ou na base e. Nesse caso, seria necessário fazer a mudança para uma dessas bases. Assim, teremos:
Exemplo: Se desejarmos calcular o valor do seguinte logaritmo log5 11, nem com uso de uma calculadora científica seria possível, pois ela trabalha com logaritmos na base 10 ou na base e. Nesse caso, seria necessário fazer a mudança para uma dessas bases. Assim, teremos:
Os cálculos dos logaritmos, após a mudança de base, foram feitos com o auxílio de uma calculadora científica.
sexta-feira, 6 de novembro de 2015
Função logarítmica
Anteriormente,estudamos diversas situações que apresentam comportamento exponencial. Agora estudaremos aquela que podem ser modeladas pela função inversa da função exponencial,que nomeamos função logarítmica.
Para justificar a definição de logaritmo, é necessário mostrar que a equação b^x = y tem a solução x e que esta é única, desde que y seja positivo e b seja positivo e diferente de 1. Uma prova para este fato requer o teorema do valor intermediário do cálculo elementar.Este teorema afirma que uma função contínua que produz dois valores m e n também produz qualquer valor que se situe entre m e n. Uma função é contínua quando ela não dá saltos, isto é, quando seu gráfico pode ser desenhado sem se levantar a caneta.
Pode-se demonstrar que esta propriedade se aplica à função f(x) = bx. Como f assume valores positivos arbitrariamente grandes e arbitrariamente pequenos, qualquer número y > 0 situa-se entre f(x 0) e f(x 1) para apropriados x 0 e x 1. Logo, o teorema do valor intermediário garante que a equação f(x) = y tem uma solução. Além disso, há apenas uma solução para essa equação, porque a função f é estritamente crescente (para b > 1) ou estritamente decrescente (para 0 < b < 1).
A única solução x é o logaritmo de y na base b, logb(y). A função que atribui a y o seu logaritmo é chamada de função logarítmica ou, simplesmente, logaritmo. A função log b(x) é essencialmente caracterizada pela fórmula do produto:
Exemplo:
log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y).
Precisamente, o logaritmo em qualquer base b > 1 é a única função crescente f dos números reais para os reais que satisfaçam f(b) = 1 e f(xy)=f(x)+f(y).
O logaritmo de um número é o expoente a que outro valor fixo, a base, deve ser elevado para produzir este número.
Exemplo:
O logaritmo de 1000 na base 10 é 3 porque 10 ao cubo é 1000
(1000 = 10 × 10 × 10 = 103).
De maneira geral, para quaisquer dois números reais b e x, onde b é positivo e b ≠ 1.
Para justificar a definição de logaritmo, é necessário mostrar que a equação b^x = y tem a solução x e que esta é única, desde que y seja positivo e b seja positivo e diferente de 1. Uma prova para este fato requer o teorema do valor intermediário do cálculo elementar.Este teorema afirma que uma função contínua que produz dois valores m e n também produz qualquer valor que se situe entre m e n. Uma função é contínua quando ela não dá saltos, isto é, quando seu gráfico pode ser desenhado sem se levantar a caneta.
Pode-se demonstrar que esta propriedade se aplica à função f(x) = bx. Como f assume valores positivos arbitrariamente grandes e arbitrariamente pequenos, qualquer número y > 0 situa-se entre f(x 0) e f(x 1) para apropriados x 0 e x 1. Logo, o teorema do valor intermediário garante que a equação f(x) = y tem uma solução. Além disso, há apenas uma solução para essa equação, porque a função f é estritamente crescente (para b > 1) ou estritamente decrescente (para 0 < b < 1).
A única solução x é o logaritmo de y na base b, logb(y). A função que atribui a y o seu logaritmo é chamada de função logarítmica ou, simplesmente, logaritmo. A função log b(x) é essencialmente caracterizada pela fórmula do produto:
Exemplo:
log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y).
Precisamente, o logaritmo em qualquer base b > 1 é a única função crescente f dos números reais para os reais que satisfaçam f(b) = 1 e f(xy)=f(x)+f(y).
O logaritmo de um número é o expoente a que outro valor fixo, a base, deve ser elevado para produzir este número.
Exemplo:
O logaritmo de 1000 na base 10 é 3 porque 10 ao cubo é 1000
(1000 = 10 × 10 × 10 = 103).
De maneira geral, para quaisquer dois números reais b e x, onde b é positivo e b ≠ 1.
domingo, 11 de outubro de 2015
Estudo do sinal da função quadrática
Considere a função quadrática ax² + bx + c ( a b e c reais com a diferente de 0 ) são estudados por meio de análises do coeficiente a e de delta .
Quando f(x) > 0, f(x) = 0 ou f(x) < 0
1° iguala a função a zero, e calcule-se as raízes ou zeros da função
2° marca na reta numérica as raízes encontradas
3° fora das raízes tem o mesmo sinal do coeficiente de a. E dentro, isto é, entre as raízes a função terá sinal contrario ao coeficiente de a .
Quando f(x) > 0, f(x) = 0 ou f(x) < 0
1° iguala a função a zero, e calcule-se as raízes ou zeros da função
2° marca na reta numérica as raízes encontradas
3° fora das raízes tem o mesmo sinal do coeficiente de a. E dentro, isto é, entre as raízes a função terá sinal contrario ao coeficiente de a .
Estudo dos sinais:
++++ + - - - - - - + + + +
3 4
Se x<3 ou="" x="">4, então f(x)>0
se 3 < x < 4, então f(x) <0 span="">
se x=3 ou x=4, então f(x)=0
Estudo dos sinais:
- - - - - - + + + + + + - - - - - - -
-1 6
f(x)=0 para x = -1 ou x = 6
f(x) > 0 para x < -1 ou x > 6
f(x) < 0 para -1 < x < 4
- Estudo dos sinais:
+ + + + + + . + + + + + +
2
f(x)=0 para x = 2
f(x)>; 0 para x diferente de 2
f(x) nunca será negativa
sábado, 10 de outubro de 2015
EXERCÍCIOS DE RADICIAÇÃO COM RESPOSTAS
Escreva simplificadamente:: A)  B)  C)  Racionalize os denominadores: A)  B)  C)  D)  E)  RESPOSTAS 1º
Resposta a:
Resposta b:
Resposta c:
 RESPOSTAS 2º
Resposta A:
Resposta B:
Resposta C:
Resposta D:
Resposta F:
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Radiciação de números complexos
Seja o número complexo z = r (cosq + i . senq ).
Para o cálculo das raízes e-nésimas do complexo z, ou seja, para o cálculo de
, deveremos utilizar a seguinte fórmula:
Para o cálculo das raízes e-nésimas do complexo z, ou seja, para o cálculo de
, deveremos utilizar a seguinte fórmula:
onde k = 0,1,2,3, ... , n - 1.
Esta fórmula é aparentemente assustadora, não é?!
Vamos então, por partes.
1 - O ângulo q (argumento do complexo) deve ser expresso em graus. Se você preferir usar a unidade radiano, ao invés de 360.k, deverá ser usado 2kp , pois 360 graus = 2p radianos.
2 - Como k = 0,1,2,.3, ... , n -1, então são n valores possíveis para a variável k, o que significa que existem n raízes e-nésimas de z. Ou seja: 2 raízes quadradas, três raízes cúbicas, quatro raízes quartas, cinco raízes quintas, etc.
3 - Observe que todas as n raízes e-nésimas de z possuem o mesmo módulo.
Vamos determinar, como exemplo, as três raízes cúbicas da unidade.
Esta fórmula é aparentemente assustadora, não é?!
Vamos então, por partes.
1 - O ângulo q (argumento do complexo) deve ser expresso em graus. Se você preferir usar a unidade radiano, ao invés de 360.k, deverá ser usado 2kp , pois 360 graus = 2p radianos.
2 - Como k = 0,1,2,.3, ... , n -1, então são n valores possíveis para a variável k, o que significa que existem n raízes e-nésimas de z. Ou seja: 2 raízes quadradas, três raízes cúbicas, quatro raízes quartas, cinco raízes quintas, etc.
3 - Observe que todas as n raízes e-nésimas de z possuem o mesmo módulo.
Vamos determinar, como exemplo, as três raízes cúbicas da unidade.
Seja o número complexo z = 1 (unidade).
Podemos escrever na forma polar: z = 1 (cos 0º + i . sen 0º)
Temos então:
módulo: r = 1
argumento: q = 0º = 0 rad
Substituindo na fórmula dada, vem:
Podemos escrever na forma polar: z = 1 (cos 0º + i . sen 0º)
Temos então:
módulo: r = 1
argumento: q = 0º = 0 rad
Substituindo na fórmula dada, vem:
Fazendo k = 0, obteremos a primeira raiz, ou seja:
z1 = 1(cos 0º + i . sen 0º) = 1(1 + i . 0) = 1Fazendo k = 1, obteremos a segunda raiz, ou seja:
z2 = 1(cos 120º + i . sen 120º) = -1/2 + i . Ö 3 / 2
z1 = 1(cos 0º + i . sen 0º) = 1(1 + i . 0) = 1Fazendo k = 1, obteremos a segunda raiz, ou seja:
z2 = 1(cos 120º + i . sen 120º) = -1/2 + i . Ö 3 / 2
Finalmente, fazendo k = 2, obteremos a terceira e última raiz:
z3 = 1(cos 240º + i . sen 240º) = -1 /2 - i . Ö 3 / 2
z3 = 1(cos 240º + i . sen 240º) = -1 /2 - i . Ö 3 / 2
Um detalhe importante pode ser visualizado no exemplo acima: os argumentos das raízes são 0º, 120º e 240º , que são termos de uma progressão aritmética de razão 120º. Isto não é uma coincidência! Veja a dica abaixo:
As n raízes enésimas de um número complexo de argumento q , possuem argumentos que formam uma
Progressão Aritmética de primeiro termo q / n e razão 360º / n.
Progressão Aritmética de primeiro termo q / n e razão 360º / n.
Sabendo disto, poderemos simplificar o cálculo das raízes de um número complexo.Por exemplo, vamos calcular as raízes quadradas da unidade imaginária:
Temos z = i ( i = unidade imaginária).
Portanto, z = 1(cos 90º + i . sen 90º)
módulo: r = 1
argumento: q = 90º
Como queremos as raízes quadradas, temos n = 2. Pela dica acima, os argumentos das raízes formarão uma P. A . de primeiro termo 90º / 2 = 45º e razão igual a 360 / n = 360 / 2 = 180º. Logo, basta determinar a primeira raiz e usar esta informação para calcular a segunda e última raiz.
Portanto, z = 1(cos 90º + i . sen 90º)
módulo: r = 1
argumento: q = 90º
Como queremos as raízes quadradas, temos n = 2. Pela dica acima, os argumentos das raízes formarão uma P. A . de primeiro termo 90º / 2 = 45º e razão igual a 360 / n = 360 / 2 = 180º. Logo, basta determinar a primeira raiz e usar esta informação para calcular a segunda e última raiz.
Temos:
1ª raiz: fazendo k = 0, vem z1 = 1(cos 45º + i . sen 45º) = Ö 2 / 2 + i . Ö 2 / 2
2ª raiz: z2 = 1(cos 225º + i . sen 225º) = - Ö 2 /2 - i .Ö 2 / 2
Observe que 225º = 45º + 180º (180º = 360 / n = 360 / 2 (veja acima).
2ª raiz: z2 = 1(cos 225º + i . sen 225º) = - Ö 2 /2 - i .Ö 2 / 2
Observe que 225º = 45º + 180º (180º = 360 / n = 360 / 2 (veja acima).
Mais um exercício resolvido para você!
Resolva a equação z6 - 16z3 + 64 = 0 , onde z Î C (C = conj. dos números complexos).
Vamos começar fazendo z3 = x ; Daí, vem z6 = (z3)2 = x2 ; substituindo, fica:
x2 - 16x + 64 = 0 \ (x - 8)2 = 0 \ x = 8
Como z3 = x , vem z3 = 8 . O problema consiste então no cálculo das raízes cúbicas de 8. Observe
que 8 = 8 + 0. i ( i = unidade imaginária).
Resolva a equação z6 - 16z3 + 64 = 0 , onde z Î C (C = conj. dos números complexos).
Vamos começar fazendo z3 = x ; Daí, vem z6 = (z3)2 = x2 ; substituindo, fica:
x2 - 16x + 64 = 0 \ (x - 8)2 = 0 \ x = 8
Como z3 = x , vem z3 = 8 . O problema consiste então no cálculo das raízes cúbicas de 8. Observe
que 8 = 8 + 0. i ( i = unidade imaginária).
Portanto:
Sabemos que existem três raízes cúbicas; logo, fazendo k = 0, obteremos a primeira raiz:
z1 = 2(cos 0º + i . sen 0º) = 2(1 + 0.i) = 2
Usando a dica vista acima , vem:
z2 = 2(cos 120º + i. sen 120º) = 2(- 1 /2 + i . Ö 3 / 2) = - 1 + Ö 3 i
z3 = 2(cos 240º + i . sen 240º) = 2[- 1 /2 + i . (- Ö 3 / 2) = -1 - Ö 3 i
z1 = 2(cos 0º + i . sen 0º) = 2(1 + 0.i) = 2
Usando a dica vista acima , vem:
z2 = 2(cos 120º + i. sen 120º) = 2(- 1 /2 + i . Ö 3 / 2) = - 1 + Ö 3 i
z3 = 2(cos 240º + i . sen 240º) = 2[- 1 /2 + i . (- Ö 3 / 2) = -1 - Ö 3 i
Portanto, o conjunto solução da equação dada é:
S = {2; -1 + Ö 3 i; -1 - Ö 3 i}
S = {2; -1 + Ö 3 i; -1 - Ö 3 i}
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